中学数学・幾何学インタラクティブ解説

平面図形の探求

点や線から、三角形、四角形、円まで、平面を構成する基本的な図形たち。その性質や面積の求め方などを、インタラクティブに学びましょう。

多角形は辺の数が増えると内角の和も一定の規則で増えていきます。その関係性をグラフで見てみましょう。公式は $(n-2) \times 180^{\circ}$ です。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\div 2$」です。高さが図形の外側に来る鈍角三角形の場合でも、この公式が成り立つ様子を視覚的に理解しましょう。

円の一部であるおうぎ形。その弧の長さと面積は中心角に比例します。スライダーを動かして、中心角と面積の関係を体感してください。

中心角: 90$^{\circ}$

角柱、円錐、球など、私たちの世界を形作る立体。表面積や体積の求め方の鍵は、しばしばその展開図に隠されています。

立体を切り開いて平面にしたものが展開図です。表面積は、展開図の面積を求めることで計算できます。下のボタンで様々な立体の展開図を見てみましょう。

同じ底面積と高さを持つ角錐や円錐の体積は、なぜ角柱や円柱の体積の $\frac{1}{3}$ になるのでしょうか？

これは、実験やより高度な数学（積分）で証明されます。例えば、底面が同じで高さも同じ円柱と円錐を用意し、円錐に水を満たして円柱に移すと、ちょうど3杯で円柱が満たされることから、体積が $\frac{1}{3}$ であることが直感的に理解できます。

体積の公式

角柱/円柱: $V = \text{底面積} \times \text{高さ}$

角錐/円錐: $V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$

形も大きさも全く同じ「合同」と、形は同じで大きさが違う「相似」。図形の関係性を見抜くための強力なツールです。

2つの三角形が合同であることを証明するための3つの条件。ボタンを押して、どの辺や角が対応しているか確認しましょう。

2つの三角形が相似であることを証明するための3つの条件。ボタンを押して、どの辺の比や角が対応しているか確認しましょう。

幾何学の世界を支える美しい定理たち。その意味を視覚的に理解することで、単なる暗記から本当の理解へと変わります。

直角三角形の3辺の関係 $a^2 + b^2 = c^2$。この定理がなぜ成り立つのか、図解で見てみましょう。

同じ弧に対する円周角の大きさは、中心角の半分であり、常に一定です。頂点をドラッグして、角度が変わらないことを確かめてみましょう。

中心角: $120^{\circ}$, 円周角: $60^{\circ}$